11835. В равнобедренный треугольник ABC
с основанием AB
вписана окружность с центром O
. Прямая AO
пересекает сторону BC
в точке M
, причём AO=11
и OM=9
. Найдите углы треугольника и радиус окружности.
Ответ. \arccos\frac{1}{9}
; \arccos\frac{1}{9}
; 180^{\circ}-2\arccos\frac{1}{9}
; \frac{22}{3}
.
Решение. Обозначим \angle CBA=\angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Отрезок CO
— биссектриса треугольника ACM
, поэтому
\frac{CM}{CA}=\frac{OM}{OA}=\frac{9}{11}
(см. задачу 1509), а так как CB=CA
, то
\frac{BM}{MC}=\frac{CB-MC}{MC}=\frac{2}{9}.
Значит,
\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}=\frac{2}{9},
поэтому
\cos\alpha=\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AC}=\frac{1}{9}.
Следовательно,
\angle CBA=\angle BAC=\arccos\frac{1}{9},~\angle ACB=180^{\circ}-2\arccos\frac{1}{9}.
Пусть r
— искомый радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
r=OD=OA\sin\angle OAD=11\sin\frac{\alpha}{2}=
=11\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=11\sqrt{\frac{1+\frac{1}{9}}{2}}=11\cdot\frac{2}{3}=\frac{22}{3}.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 504, с. 131