11844. Медиана AL
треугольника ABC
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины B
, в точке P
. Медиана BM
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины C
, в точке Q
. Медиана CN
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины A
, в точке R
. Докажите, что
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}=8.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Поскольку BP
— биссектриса треугольника ABL
, то (см. задачу 1509)
\frac{AP}{PL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{\frac{a}{2}}=\frac{2c}{a}.
Аналогично,
\frac{BQ}{QM}=\frac{2a}{b},~\frac{CR}{RN}=\frac{2b}{c}.
Следовательно,
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}=\frac{2c}{a}\cdot\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{c}=8.
Что и требовалось доказать.