11851. Внутри параллелограмма ABCD
дана точка P
. Постройте на стороне параллелограмма такую точку Q
, чтобы ломаная APQ
разделила параллелограмм на две равновеликие части.
Решение. Если точка P
лежит на диагонали AC
параллелограмма ABCD
и отлична от A
, то искомая точка Q
совпадает с вершиной C
.
Пусть точка P
лежит внутри треугольника ABC
. Проведём через вершину A
прямую, параллельную CP
. Пусть эта прямая пересекает сторону CD
в точке Q
. Докажем, что ломаная APQ
разбивает параллелограмм на две равновеликие части.
Действительно, пусть диагонали AC
и PQ
трапеции APCQ
пересекаются в точке M
. Тогда треугольник AMP
равновелик треугольнику CMQ
(см. задачу 3017), поэтому четырёхугольник APQD
равновелик треугольнику ADC
, площадь которого равна половине площади параллелограмма ABCD
. Следовательно, ломаная APQ
разделила параллелограмм на две равновеликие части. Что и требовалось.
Аналогично для точки P
, лежащей внутри треугольника ADC
.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 374, с. 108