11861. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
, в которой AD=CD=1
, AB=3
, \angle A=2\angle B
. Найдите BC
и \angle ABC
.
Ответ. BC=\sqrt{3}
, \angle ABC=30^{\circ}
.
Решение. Через вершины D
и C
проведём прямые, параллельные AD
. Пусть они пересекают основание AB
в точках M
и N
соответственно. Тогда четырёхугольники ADCM
и MDCN
— ромбы со стороной 1, значит, ADM
, DMC
и MCN
— равносторонние треугольники. Следовательно, \angle DAM=60^{\circ}
, а \angle ABC=30^{\circ}
.
Медиана CN=1
треугольника BCM
равна половине стороны BM=2
, значит, треугольник BCM
прямоугольный (см. задачу 1188). Следовательно,
BC=BM\cos\angle ABC=BM\cos30^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Источник: Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. — М.: Просвещение, 1996. — № 76, с. 25