11875. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD
, касается его сторон AB
, BC
, CD
и DA
в точках E
, F
, G
и H
соответственно, а диагонали AC
и BD
пересекаются в точке P
. Известно, что AH=AE=a
, BE=BF=b
, CF=CG=c
и DG=DH=d
. Докажите, что \frac{PA}{PC}=\frac{a}{b}
и \frac{PB}{PD}=\frac{b}{d}
.
Решение. Рассматривая четырёхугольник ABCD
как вырожденный описанный шестиугольник AEBFCD
, получаем, что отрезки AF
, CE
и BD
пересекаются в одной точке (см. задачу 6394 и примечание к ней).
По теореме Чевы из треугольника ABC
получаем
1=\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CP}{PA}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{CP}{PA}=\frac{a}{c}\cdot\frac{CP}{PA},
откуда \frac{PA}{PC}=\frac{a}{b}
. Аналогично, по теореме Чевы для треугольника BCD
получаем \frac{PB}{PD}=\frac{b}{d}
. Что и требовалось доказать.