11880. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, внешним образом построены прямоугольные треугольники ABT
и ACK
, причём \angle ATB=\angle AKC=90^{\circ}
и \angle ABT=\angle ACK=30^{\circ}
. Точка M
— середина стороны BC
. Найдите градусную меру угла KMT
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Отметим середины L
и N
сторон AB
и AC
соответственно. Тогда ML
и MN
— средние линии треугольника ABC
, ALMN
— параллелограмм, а TL
и KN
— медианы прямоугольных треугольников ABT
и ACK
, проведённые из вершин прямых углов. Значит (см. задачу 1109),
MN=\frac{1}{2}AB=TL,~KN=\frac{1}{2}AC=MT,
\angle MNK=\angle MNA+\angle ANK=(180^{\circ}-\alpha)+60^{\circ}=240^{\circ}-\alpha,
\angle MLT=\angle MLA+\angle ALT=(180^{\circ}-\alpha)+60^{\circ}=240^{\circ}-\alpha.
Треугольники MNK
и TLM
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому KN=MT
, \angle KMN=\angle MTL
и \angle MKN=\angle TML
. Следовательно,
\angle KMT=\angle NML-(\angle KMN+\angle TML)=\alpha-(\angle KMN+\angle MKN)=
=\alpha-(180^{\circ}-\angle MNK)=\alpha-(180^{\circ}-(240^{\circ}-\alpha))=60^{\circ}.