11884. В треугольнике ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине B
проведены биссектрисы, AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Отрезок A_{1}B_{1}
пересекает биссектрису CC_{1}
в точке M
. Найдите угол B_{1}MC_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отметим точку P
. Тогда
\angle PBA_{1}=60^{\circ}=\angle B_{1}BA_{1},
т. е. луч BA_{1}
— биссектриса угла PBB_{1}
. Значит, точка A_{1}
равноудалена от сторон этого угла. В то же время, точка A_{1}
равноудалена от сторон угла BAC
, так как она лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом, точка A_{1}
равноудалена от сторон угла BB_{1}C
. Тогда B_{1}A_{1}
— биссектриса треугольника BB_{1}C
(см. задачу 1138), а M
— точка пересечения биссектрис треугольника BB_{1}C
, поэтому (см. задачу 4770)
\angle B_{1}MC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B_{1}BC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно,
\angle B_{1}MC_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}MC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, отборочный этап, 9 класс, № 8, вариант 1