11889. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AD
. Известно, что центры вписанной в треугольник ABD
и описанной около треугольника ABC
совпадают. Найдите CD
, если AC=\sqrt{5}+1
. (Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.)
Ответ. 2.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABD
, лучи AO
и BO
— биссектрисы углов BAC
и ABC
. Значит,
\angle OAB=\angle OAD=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{4}\angle BAC=\frac{\alpha}{4},
а так как O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, то треугольники AOB
, BOC
и AOC
равнобедренные. Следовательно,
\frac{\beta}{2}=\angle ABO=\angle BAO=\frac{a}{4},~\angle ABC=\beta=\frac{\alpha}{2},
\angle BCO=\angle CBO=\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha}{4},~\angle ACO=\angle CAO=\frac{\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}\alpha,
\angle ACB=\frac{\alpha}{4}+\frac{3}{4}\alpha=\alpha.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е.
\alpha+\frac{\alpha}{2}+\alpha=\frac{5}{2}\alpha=180^{\circ},
откуда
\alpha=72^{\circ},~\angle ABC=36^{\circ},~\angle ACB=\angle BAC=72^{\circ},
\angle ADC=\angle ABD+\angle BAD=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}.
Значит, треугольники CAD
и ABD
равнобедренные, BD=AD=AC=\sqrt{5}+1
.
Обозначим AC=AD=BD=x
, CD=y
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}
, или
\frac{x}{y}=\frac{x+y}{x},~y^{2}+xy-x^{2}=0,~y=\frac{x(\sqrt{5}-1)}{2}.
Следовательно,
CD=y=\frac{x(\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{2}=2.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019, второй этап, 11 класс, № 4, вариант 1