11891. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы при вершинах B
и D
равны 90^{\circ}
, диагонали AC
и BD
перпендикулярны, а диагональ AC
является биссектрисой углов A
и C
. Найдите углы A
и C
, если AC=2BD
. Ответ дайте в градусах.
Ответ. 150^{\circ}
и 30^{\circ}
.
Решение. Пусть диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке H
. В треугольнике BCD
высота CH
является биссектрисой, значит, этот треугольник равнобедренный, BC=CD
, а H
— середина диагонали BD
. Предположим, что середина O
диагонали AC
лежит на отрезке CH
.
Обозначим BH=DH=x
. Тогда AC=2BD=4x
, а так как медиана BO
прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), то BO=2x
. В прямоугольном треугольнике BHO
катет BH=x
равен половине половине гипотенузы BO=2x
, значит,
\angle BOA=\angle BOH=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BCA=\frac{1}{2}\angle BOA=15^{\circ}.
Аналогично, \angle DCA=15^{\circ}
. Следовательно, \angle BCD=30^{\circ}
, а \angle BAD=150^{\circ}
.