11892. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
, CF
. Длина стороны AC
равна 1+\sqrt{3}
. Расстояния от центра вписанной в треугольник DEF
окружности до точек A
и C
равны \sqrt{2}
и 2 соответственно. Найдите длину стороны AB
.
Ответ. 2.
Решение. Поскольку DEF
— ортотреугольник остроугольного треугольника ABC
, лучи DA
, BE
и CF
— биссектрисы углов при вершинах D
, E
и F
треугольника DEF
, а точка O
пересечения высот треугольника ABC
— центр вписанной окружности треугольника DEF
(см. задачу 533).
По теореме косинусов
\cos\angle OAC=\frac{OA^{2}+AC^{2}-OC^{2}}{2OA\cdot AC}=\frac{2+(1+\sqrt{3})^{2}-4}{2\cdot\sqrt{2}\cdot(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\cos\angle OCA=\frac{OC^{2}+AC^{2}-OA^{2}}{2OC\cdot AC}=\frac{4+(1+\sqrt{3})^{2}-2}{2\cdot2\cdot(1+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{2},
поэтому
\angle OAC=45^{\circ},~\angle OCA=30^{\circ}.
Тогда
AE=1,~CE=\sqrt{3},~\angle BCE=45^{\circ},~BE=CE=\sqrt{3},~AB=\frac{AE}{\cos60^{\circ}}=2.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2018, отборочный этап, 11 класс, № 7, вариант 1