11894. В треугольнике ABC
с углом A
, равным 60^{\circ}
, проведена биссектриса AD
. Радиус описанной около треугольника ADC
окружности с центром в точке O
равен \frac{2\sqrt{3}}{3}
. Найдите длину отрезка BM
, где M
— точка пересечения отрезков AD
и BO
, если AB=1
.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{9}
.
Решение. Обозначим AC=t
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}
, откуда
BD=\frac{AB\cdot DC}{AC}=\frac{1\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}}{t}=\frac{2}{t\sqrt{3}},
BC=\frac{2}{t\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{t\sqrt{3}}(1+t).
По теореме косинусов
AB{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos60^{\circ}=BC^{2},
или
1+t^{2}-t=\frac{4}{2}(1+2t+t^{2}),~3t^{4}-3t^{3}-t^{2}-8t-4=0,
причём t=AC\gt0
. Заметим, что t=2
— корень этого уравнения, а так как
3t^{4}-3t^{3}-t^{2}-8t-4=(t-2)(3t^{3}+3t^{2}+5t+2),
то других положительных корней нет.
Тогда \angle ABC=90^{\circ}
(см. задачу 2643), поэтому
BD=AB\tg30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3},~AD=2BD=\frac{2\sqrt{3}}{3}=CD,
а так как треугольник COD
равносторонний, то
AD=CD=OC+OA=OD,
т. е. треугольник AOD
тоже равносторонний, поэтому
\angle BAO=\angle BAD+\angle DAO=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}.
Значит,
BO=\sqrt{AB^{2}+OA^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
Поскольку \angle ADB=60^{\circ}=\angle ADO
, отрезок DM
— биссектриса треугольника BDO
, поэтому
\frac{BM}{MO}=\frac{BD}{OD}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
BM=\frac{1}{3}BO=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{9}.