11898. Две окружности касаются друг друга и сторон треугольника ABC
. Первая окружность радиуса \frac{1}{18}
касается сторон AB
и AC
в точках L
и K
, вторая окружность радиуса \frac{2}{9}
касается сторон AC
и BC
в точках N
и M
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AL=\frac{1}{9}
, CM=\frac{1}{6}
.
Ответ. \frac{3}{11}
.
Решение. Пусть точки L
и M
лежат на сторонах AB
и BC
соответственно, первая окружность касается стороны AC
в точке K
, а вторая — в точке N
. Обозначим радиус меньшей окружности (с центром O
) через r
, а радиус большей (с центром O'
) — через R
. Тогда (см. задачу 365)
KN=2\sqrt{Rr}=2\sqrt{\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{9}}=\frac{2}{9},
значит,
AC=AK+KN+NC=AL+KN+CM=\frac{1}{18}+\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников AKO
и CNO'
получаем
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OK}{AK}=\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{9}}=\frac{1}{2},~\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{O'N}{CN}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3},~
поэтому
\sin\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5},~\cos\alpha=\frac{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5},~
\sin\gamma=\frac{2\tg\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{2\cdot\frac{4}{3}}{1+\frac{16}{9}}=\frac{24}{25},~\cos\gamma=\frac{1-\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{1-\frac{16}{9}}{1+\frac{16}{9}}=-\frac{7}{25}.
Следовательно (см. задачу 2677),
S_{\triangle ABC}=\frac{AC^{2}\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{AC^{2}\sin\alpha\sin\gamma}{2(\sin\gamma\cos\alpha+\cos\gamma\sin\alpha)}=
=\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{24}{25}}{2\left(\frac{24}{25}\cdot\frac{3}{5}-\frac{7}{25}\cdot\frac{4}{5}\right)}=\frac{3}{11}.