11899. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 4\sqrt{1-x}+3\sqrt{x}
.
Ответ. 5 и 3.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{m}=(4;3)
и \overrightarrow{n}=(\sqrt{1-x};\sqrt{x})
(0\leqslant x\leqslant1
). Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=4\sqrt{1-x}+3\sqrt{x}
С другой стороны, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \varphi
, то
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi
(см. задачу 900). Следовательно,
4\sqrt{1-x}+3\sqrt{x}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{(\sqrt{1-x})^{2}+(\sqrt{x})^{2}}=5\cdot1=5,
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
сонаправлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. В этом случае \varphi=0^{\circ}
, а x=\frac{9}{25}
.
Поскольку 0\leqslant x\leqslant1
, конец вектора \overrightarrow{n}=(\sqrt{1-x};\sqrt{x})
, отложенного от точки O
, расположен в первой четверти. Наименьший \cos\varphi
будет в случае, когда угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
будет наибольшим. Этот угол равен \arccos\frac{3}{5}
. Следовательно, наименьшее значение выражения 4\sqrt{1-x}+3\sqrt{x}
равно 5\cdot\frac{3}{5}=3
. Оно достигается при x=1
.