11920. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена точка K
. Известно, что \angle B+\angle C=\angle AKB
, AK=4
, BK=9
, KC=3
. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{35}{13}\pi
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По теореме о внешнем угле треугольника
\beta+\gamma=\angle AKB=\angle CAK+\angle ACK=\angle CAK+\gamma,
откуда \angle CAK=\gamma
. Значит, треугольники ABC
и KAC
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AC}{CK}=\frac{BC}{AC},~\frac{AB}{AK}=\frac{BC}{AC},
откуда
AC^{2}=BC\cdot CK=12\cdot3=36,~AC=6,~AB=\frac{BC\cdot AK}{AC}=\frac{12\cdot4}{6}=8.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
p=\frac{12+6+8}{2}=13,~S=\sqrt{p(p-12)(p-6)(p-8)}=\sqrt{13\cdot1\cdot7\cdot5}=\sqrt{13\cdot35}.
Тогда (см. задачу 452)
r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{13\cdot35}}{13}=\sqrt{\frac{35}{13}}.
Следовательно, площадь вписанного круга равна \pi r^{2}=\frac{35}{13}\pi
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2015, отборочный тур, 11 класс, № 7, вариант 10