11924. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 75^{\circ}
. На стороне AC
выбирается точка K
. Около треугольников ABK
и CBK
описываются окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если наименьшая из возможных длина отрезка O_{1}O_{2}
равна 2.
Ответ. 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})
.
Решение. Треугольник ABC
остроугольный, поэтому отрезок O_{1}O_{2}
будет наименьшим, если BK
— высота треугольника ABC
(см. задачу 474). В этом случае точки O_{1}
и O_{2}
— середины гипотенуз соответственно AB
и BC
прямоугольных треугольников ABK
и CBK
, а OO_{1}
— средняя линия треугольника ABC
. Тогда AC=2O_{1}O_{2}=4
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{AC}{2\sin75^{\circ}}=
=\frac{4}{2\sin(45^{\circ}+30^{\circ})}=\frac{2}{\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}}=
=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=2(\sqrt{6}-\sqrt{2}).