11927. Вписанная в треугольник ABC
окружность касается стороны BC
в точке D
, причём BD=5
. Найдите радиус этой окружности и площадь треугольника ABC
, если угол A
равен 60^{\circ}
, а радиус описанной около треугольника ABC
окружности равен \frac{7}{\sqrt{3}}
.
Ответ. \sqrt{3}
, 10\sqrt{3}
.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. По теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin60^{\circ}=\frac{14}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7.
Пусть вписанная окружность касается сторон AB
и AC
треугольника в точках E
и F
соответственно. Обозначим AE=AF=x
. По теореме косинусов
AB^{1}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos60^{\circ}=BC^{2},
или
(x+5)^{2}+(x+2)^{2}-(x+5)(x+2)=49,~x^{2}+7x-30=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень x=3
этого уравнения. Тогда
AB=x+5=8,~AC=x+2=5.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
, p=\frac{8+5+7}{2}=10
. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=
=\sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)}=\sqrt{10\cdot2\cdot5\cdot3}=10\sqrt{3}.
Следовательно (см. задачу 452),
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2014, отборочный тур, 11 класс, № 7