11932. Одна сторона параллелограмма в \sqrt{3}
раз больше другой стороны. Одна диагональ параллелограмма в \sqrt{7}
раз больше другой диагонали. Во сколько раз один угол параллелограмма больше другого угла?
Ответ. В пять раз.
Решение. Пусть стороны параллелограмма равны x
и x\sqrt{3}
, а диагонали — y
и y\sqrt{7}
. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), поэтому
y^{2}+7y^{2}=2x^{2}+2\cdot3x^{2},
откуда y=x
. Это означает, что меньшая диагональ параллелограмма разбивает его на два равнобедренных треугольника, причём основание каждого из них в \sqrt{3}
раз больше боковой стороны. Углы такого треугольника равны 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
, поэтому углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, равны 30^{\circ}
и 150^{\circ}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2014, отборочный тур, 9 класс, № 3