11940. На сторонах AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
с равными диагоналями взяты соответственно точки K
и L
так, что \frac{AK}{AB}=\frac{DL}{DC}
. Прямые AL
и KD
пересекаются в точке P
. Докажите, что треугольники APC
и BPC
равновелики.
Решение. Пусть диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
. Луч MP
— биссектриса угла AMD
(см. задачу 10010), поэтому точка P
равноудалена от сторон этого угла (см. задачу 1138), т. е. высоты треугольников APC
и BPC
, проведённые из общей вершины P
, равны, а так как равны основания AC
и BD
, то треугольники APC
и BPC
равновелики.