11941. На сторонах параллелограмма с диагоналями e
, f
и площадью S
вне его построены квадраты. Пусть S_{1}
— площадь четырёхугольника с вершинами в центрах квадратов. Докажите, что
S_{1}-S=\frac{e^{2}+f^{2}}{4}.
Решение. Четырёхугольник с вершинами в центрах квадратов — квадрат (см. задачу 1043), поэтому его площадь равна квадрату стороны.
Пусть ABCD
— параллелограмм со сторонами AB=a
, AD=b
и углом \alpha\leqslant90^{\circ}
при вершине A
; O_{1}
и O_{2}
— центры квадратов со сторонами AB
и AD
соответственно, расположенных вне параллелограмма. Обозначим O_{1}O_{2}=c
.
По теореме косинусов
S_{1}=c^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=AO_{1}^{2}+AO_{2}^{2}-2AO_{1}\cdot AO_{2}\cos\angle BAD=
=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^{2}-2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{b}{\sqrt{2}}\cos(90^{\circ}+\alpha)=
=\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+ab\sin\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+S=\frac{e^{2}+f^{2}}{4}+S
(см задачу 4011). Следовательно,
S_{1}-S=\frac{e^{2}+f^{2}}{4}.
Что и требовалось доказать.