11955. Каждая сторона четырёхугольника
ABCD
разделена на три равные части. Через точки деления сторон
AB
и
AD
, ближайшие к вершине
A
, проведена прямая. Аналогичные прямые проведены и через точки деления, ближайшие к вершинам
B
,
C
и
D
. Докажите, что центр тяжести четырёхугольника, образованного проведёнными прямыми, совпадает с центром тяжести четырёхугольника
ABCD
.
Решение. Пусть точки
E
и
R
лежат на стороне
AB
, причём
AE=ER=RB
, точки
S
и
F
— на стороне
BC
, причём
BS=SF=FC
, точки
G
и
T
— на стороне
CD
, причём
CG=GT=TD
, точки
U
и
H
— на стороне
DA
, причём
DU=UH=HA
; прямые
RS
и
HE
пересекаются в точке
M
, прямые
RS
и
FG
— в точке
N
, прямые
FG
и
TU
— в точке
P
, прямые
TU
и
HE
— в точке
Q
.
Прямые
EF
и
GH
параллельны диагонали
AC
четырёхугольника
ABCD
, так как
BE:AB=BF:BC=2:1=DH:AD=DG:CD,

поэтому
EF\parallel AC
. Аналогично,
EH\parallel GF
. Значит,
EFHG
— параллелограмм.
Центры тяжести треугольников
ABC
и
ADC
с общей стороной
AC
— точки соответственно
K
и
L
пересечения их медиан, поэтому эти точки лежат на медианах
BX
и
DX
треугольников
ABC
и
ABD
, а так как
EF\parallel AC\parallel GH
, то
K
и
L
— середины сторон
EF
и
GH
параллелограмма
EFGH
(см. задачу 2607). Тогда отрезок
KL
проходит через центр
O
этого параллелограмма и делится точкой
O
пополам. Следовательно, точка
O
— центр тяжести четырёхугольника
ABCD
(см. задачу 6797).
Прямая
KL
, параллельная стороне
EH
параллелограмма
EFGH
, а значит, параллельная стороне
EM
параллелограмма
EMNF
, и проходящая через середину стороны
EF
, проходит через середину стороны
MN
параллелограмма
EMNF
. Аналогично, эта прямая проходит через середину
PQ
. Следовательно, прямая, проходящая через середины сторон
MN
и
PQ
проходит через точку
O
.
MNPQ
. Аналогично для прямой, проходящей через середины сторон
MQ
и
NP
. Таким образом, прямые, проходящей середины противоположных сторон параллелограмма
MNPQ
проходят через точку
O
. Следовательно,
O
— точка пересечения его диагоналей, т. е. центр тяжести параллелограмма
MNPQ
.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1957, задача 4
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 52, с. 18