11958. Окружность единичного радиуса разделена точками A_{0}
, A_{1}
, A_{2}
, A_{3}
, A_{4}
на пять равных дуг. Докажите, что длины хорд A_{0}A_{1}
и A_{0}A_{2}
удовлетворяют равенству
(A_{0}A_{1}\cdot A_{0}A_{2})^{2}=5.
Указание. См. задачу 1494.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, R=1
. По теореме синусов
A_{0}A_{1}=2R\sin\angle A_{0}A_{2}A_{1}=2\sin36^{\circ}=4\sin18^{\circ}\cos18^{\circ},
A_{0}A_{2}=2R\sin\angle A_{0}A_{3}A_{2}=2\sin2\cdot36^{\circ}=2\sin72^{\circ}=2\cos18^{\circ},
а так как
\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4},~\cos^{2}18^{\circ}=\frac{5+\sqrt{5}}{8}
(см. задачу 1494), то
A_{0}A_{1}\cdot A_{0}A_{2}=8\sin18^{\circ}\cos^{2}18^{\circ}=8\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot\frac{5+\sqrt{5}}{8}=\sqrt{5}.
Следовательно, (A_{0}A_{1}\cdot A_{0}A_{2})^{2}=5
.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 16, с. 11
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1899, задача 1