11959. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, меньше половины любого из катетов и меньше четверти гипотенузы.
Указание. Через точки касания проведите диаметры вписанной окружности.
Решение. Заметим, что если точка M
лежит внутри треугольника ABC
, то расстояние d
от неё до прямой AB
меньше высоты h
, опущенной из вершины C
. Действительно,
\frac{1}{2}AB\cdot d=S_{\triangle ABM}\lt S_{\triangle ABM}+S_{\triangle BCM}+S_{\triangle ACM}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h,
откуда d\lt h
.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
; E
, F
и G
— точки касания окружности с катетами BC=a
, AC=b
и гипотенузой AB
соответственно; E'
, F'
и G'
— точки, диаметрально противоположные точкам E
, F
и G
соответственно; CH
и CM
— соответственно высота и медиана треугольника ABC
.
Точки E'
, F'
и G'
лежат внутри треугольника, а EE'\perp BC
, FF'\perp AC
и GG'\perp AB
, поэтому
2r=EE'\lt AC=a,~2r=FF'\lt BC=b,
2r=GG'\lt CD\leqslant CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}c
(см. задачу 1109). Следовательно,
r\lt\frac{a}{2},~r\lt\frac{b}{2},~r\lt\frac{1}{4}c.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 87, с. 23
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1925, задача 3