11963. У какого из двух треугольников вписанная окружность больше; у треугольника со сторонами 17, 25 и 26 или у треугольника со сторонами 17, 25, 28?
Ответ. Эти окружности равны.
Решение. Пусть r_{1}
и r_{2}
— радиусы окружностей, вписанных соответственно в первый и второй треугольники,
p_{1}=\frac{17+25+26}{2}=34,~p_{1}=\frac{17+25+28}{2}=35
— их полупериметры, S_{1}
и S_{2}
— площади. Тогда (см. задачи 452 и 2730)
r_{1}=\frac{S_{1}}{p_{1}}=\frac{\sqrt{p_{1}(p_{1}-17)(p_{1}-25)(p_{1}-26)}}{p_{1}}=\sqrt{\frac{(p_{1}-17)(p_{1}-25)(p_{1}-26)}{p_{1}}}=
=\sqrt{\frac{(34-17)(34-25)(34-26)}{34}}=\sqrt{\frac{17\cdot9\cdot8}{34}}=\sqrt{9\cdot4}=6,
r_{2}=\frac{S_{2}}{p_{2}}=\frac{\sqrt{p_{2}(p_{2}-17)(p_{2}-25)(p_{2}-26)}}{p_{2}}=\sqrt{\frac{(p_{2}-17)(p_{2}-25)(p_{2}-28)}{p_{2}}}=
=\sqrt{\frac{(35-17)(35-25)(35-28)}{35}}=\sqrt{\frac{18\cdot10\cdot7}{35}}=\sqrt{18\cdot2}=6.
Следовательно, r_{1}=r_{2}
.