11964. Даны три точки на плоскости. Проведите на плоскости прямую так, чтобы сумма расстояний от данных точек до этой прямой была наименьшей.
Ответ. Прямая, содержащая наибольшую сторону треугольника с вершинами в этих точках (если эти точки не лежат на одной прямой).
Решение. Если данные точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, то, очевидно, эта прямая — искомая.
Рассмотрим точки A
, B
и C
, не лежащие на одной прямой, и некоторую прямую l
. Через одну из эти точек проведём прямую l'
, для которой две другие точки либо лежат по разные стороны от неё, либо одна из них лежит на l'
. Например, прямая l'
проходит через точку B
, а точки A
и C
лежат по разные стороны от l'
. Тогда прямая l'
пересекает сторону AC
треугольника ABC
в некоторой точке B_{1}
, а сумма расстояний от точек A
, B
и C
до прямой l'
меньше, чем сумма расстояний до прямой l
(по крайней мере на расстояние между прямыми l
и l'
). Таким образом, сумма расстояний точек A
, B
и C
до прямой l
принимает наименьшее значение, когда прямая l
проходит через одну из этих точек.
Пусть a
, b
и c
— расстояния от точек соответственно A
, B
и C
до прямой, проходящей через точку B
и пересекающей сторону AC
в точке B_{1}
, а площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда
S=S_{\triangle ABB_{1}}+S_{\triangle CBB_{1}}=\frac{1}{2}BB_{1}\cdot a+\frac{1}{2}BB_{1}\cdot c=\frac{1}{2}BB_{1}(a+c),
откуда
a+b+c=a+c=\frac{2S}{BB_{1}}.
Следовательно, сумма расстояний принимает наименьшее значение, если величина BB_{1}
наибольшая, а так как отрезок BB_{1}
не больше наибольшей из сторон AB
и BC
треугольника ABC
(см. задачу 3501), то величина BB_{1}
наибольшая, когда отрезок BB_{1}
совпадает с наибольшей из сторон AB
и BC
.
Аналогично для случаев, когда прямая l
проходит через точки A
или C
. Таким образом, прямая l
должна совпадать с одной из прямых AB
, BC
или AC
. В этом случае сумма расстояний равна высоте, опущенной на эту сторону. Наименьшая высота треугольника опущена на его наибольшую сторону, следовательно, наша сумма наименьшая для прямой, содержащей наибольшую сторону треугольника ABC
.