11966. Три вершины треугольника со сторонами a
, b
и c
имеют целые координаты, R
— радиус окружности, описанной около треугольника. Докажите, что abc\geqslant2R
.
Решение. Пусть площадь треугольника равна S
. Тогда (см. задачу 4259) S=\frac{abc}{4R}
, поэтому достаточно доказать неравенство S\geqslant\frac{1}{2}
.
Проведём через вершины данного треугольника прямые, параллельные координатным осям. Площадь данного треугольника равна разности площади прямоугольника с целыми сторонами и трёх прямоугольных треугольников также с целыми сторонами (какие-то из треугольников могут вырождаться в отрезки). Значит, S=\frac{n}{2}
, где n
— натуральное число, а так как n\geqslant1
, то S\geqslant\frac{1}{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.