11969. Дан острый угол и окружность внутри него. Найдите на окружности точку, сумма расстояний от которой до сторон угла была бы минимальной
Решение. Пусть O
вершина данного угла. Проведём касательные к данной окружности, перпендикулярные к биссектрисе угла. Пусть касательная, расположенная ближе к точке O
, пересекает стороны угла в точках M
и N
. Треугольник MON
равнобедренный, поэтому сумма расстояний от любой точки отрезка MN
до сторон угла одна и та же, и равна высоте, опущенной на боковую сторону треугольника MON
(см. задачу 1877).
Докажем, что искомая точка A
— это точка касания прямой MN
с данной окружностью. Сумма расстояний от точки A
до сторон угла равна высоте MH
треугольника ABC
. Пусть X
— произвольная точка окружности, отличная от A
, а прямая, проведённая перпендикулярно биссектрисе данного угла через эту точку, пересекает стороны угла в точках M_{1}
и N_{1}
. Тогда сумма расстояний от точки X
до сторон угла равна высоте M_{1}H_{1}
равнобедренного треугольника M_{1}ON_{1}
. Поскольку треугольник M_{1}ON_{1}
подобен (гомотетичен) треугольнику MON
с коэффициентом большим 1, то его высота M_{1}N_{1}
больше соответствующей высоты MH
треугольника MON
. Следовательно, сумма расстояний от точки A
до сторон угла меньше соответствующей суммы для любой другой точки окружности.
(Заметим, что аналогично, точка касания данной окружности со второй касательной — это точка, сумма расстояний от которой до сторон угла максимальна.)