11971. В треугольник ABC
вписана окружность. Точки касания этой окружности со сторонами являются вершинами второго треугольника, в который также вписана окружность. Её точки касания являются вершинами третьего треугольника, углы которого равны углам треугольника ABC
. Найдите эти углы.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда углы второго треугольника равны
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 1752), а углы третьего —
90^{\circ}-\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}+\frac{\alpha}{4},45^{\circ}+\frac{\beta}{4},~45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}.
Пусть \alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma
, тогда
45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\leqslant45^{\circ}+\frac{\beta}{4}\leqslant45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}.
По условию задачи углы третьего треугольника равны углам треугольника ABC
, значит,
45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}=\alpha,~45^{\circ}+\frac{\beta}{4}=\beta,~45^{\circ}+\frac{\gamma}{4}=\gamma,
откуда \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}
.