1752. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
, BC
и AC
соответственно в точках K
, M
и N
. Найдите угол KMN
, если \angle A=70^{\circ}
.
Ответ. 55^{\circ}
.
Указание. Треугольники MBK
и MCN
— равнобедренные.
Решение. Первый способ. Обозначим углы треугольника при вершинах A
, B
и C
соответственно \alpha
, \beta
и \gamma
. Поскольку BM=BK
и CM=CN
, то треугольники MBK
и MCN
— равнобедренные. Поэтому
\angle BMK=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle CMN=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\angle KMN=360^{\circ}-\angle BMK-\angle MCN=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=180^{\circ}-180^{\circ}+\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, \angle A=\alpha=70^{\circ}
. Тогда BO
и CO
— биссектрисы углов B
и C
треугольника ABC
, поэтому
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 1101), а так как OB\perp KL
и OC\perp ML
, то
\angle KLM=180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{70^{\circ}}{2}=55^{\circ}.