11983. Через середину стороны BC
треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая прямые AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что если AP=AQ
, то BP=CQ
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для других случаев доказательство аналогично.
Пусть M
— середина стороны BC
, а прямая, проведённая через точку C
параллельно AB
, пересекает прямую PQ
в точке D
. Треугольник CMD
равен треугольнику BMP
по стороне (MC=MB
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому CD=BP
. Треугольник DCQ
подобен равнобедренному треугольнику PAQ
с равными сторонами AQ
и AP
. Следовательно, CQ=CD=BP
.
Второй способ. Учитывая, что BM=MC
и AP=QA
, по теореме Менелая (см. задачу 1622) получим
1=\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CQ}{QA}=\frac{CQ}{PB},
откуда CQ=PB
.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 323, задача 4