11988. Пусть M
и I
— соответственно точка пересечения медиан и центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC
. Известно, что MI\perp CI
. Докажите, что среднее арифметическое сторон треугольника ABC
равно среднему гармоническому сторон AC
и BC
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, площадь треугольника ABC
равна S
, радиус его вписанной окружности равен r
, полупериметр равен p
, а высоты, опущенные из вершин A
и B
равны h_{a}
и h_{b}
соответственно.
Пусть прямая MI
пересекает прямые AC
и BC
в точках T
и U
соответственно. Треугольник TCU
равнобедренный, так как его биссектриса CI
является высотой. Высоты треугольников UCM
и TCM
, проведённые из общей вершины M
, равны \frac{1}{3}h_{a}
и \frac{1}{3}h_{b}
соответственно. Обозначим CT=CU=t
. Тогда
S_{\triangle TCU}=S_{\triangle TCM}+S_{\triangle UCM}=S_{\triangle TCU}=2S_{\triangle ICM},
или
\frac{1}{2}t\cdot\frac{1}{3}h_{b}+\frac{1}{2}t\cdot\frac{1}{3}h_{a}=2\cdot\frac{1}{2}tr,~\frac{1}{3}(h_{a}+h_{b})=2r,
а так как
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~r=\frac{S}{p}=\frac{2S}{a+b+c}
(см. задачу 452), то
\frac{1}{3}\left(\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}\right)=\frac{4S}{a+b+c},
откуда
\frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}=\frac{2ab}{a+b}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно и обратное: если среднее арифметическое сторон треугольника ABC
равно среднему гармоническому сторон AC
и BC
, то MI\perp CI
(см. задачу 11989).
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 398, задача 5