11996. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Некоторая прямая пересекает стороны AC
и BC
треугольника ABC
в точках X
и Y
соответственно и разбивает треугольник на две равновеликие части. Докажите, что XM\parallel AY
.
Решение. Заметим, что точки X
и Y
не могут лежат по одну сторону от прямой AM
, так как иначе площадь треугольника XCY
была бы меньше площади треугольника ACM
, равной половине площади треугольника ABC
.
Пусть точки X
и Y
лежат по разные стороны о прямой AM
. Тогда отрезок XY
и медиана AM
пересекаются в некоторой точке O
. Треугольники AMC
и CXY
равновелики, так как площадь каждого из них равна половине площади треугольника ABC
. Четырёхугольник CXOM
— общая часть треугольников AMC
и CXY
, поэтому треугольники AOX
и MOY
равновелики. Следовательно, прямые XM
и AY
параллельны (см. задачу 4190). Что и требовалось доказать.
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 230, задача 4