11998. В правильном пятиугольнике ABCDE
отмечена точка F
— середина CD
. Серединный перпендикуляр к AF
пересекает CE
в точке H
. Докажите, что прямая AH
перпендикулярна прямой CE
.
Решение. Опишем окружность около данного правильного пятиугольника. Вписанные в эту окружность углы ACE
и DCE
опираются на равные хорды AE=DE
, значит, CE
— биссектриса угла ACD
.
Первый способ. Опишем окружность около треугольника ACF
. Биссектриса угла C
этого треугольника и серединный перпендикуляр к противоположной стороне AF
пересекаются в точке H
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 1743). Вписанные в эту окружность углы AHC
и AFC
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle AHC=\angle AFC=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть P
— точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AF
с диагональю AC
пятиугольника. По теореме Фалеса P
— середина отрезка AC
. Поскольку CH
— биссектриса угла PCF
, а прямые PH
и CF
параллельны, то
\angle PHC=\angle FCH=\angle HCP.
Значит, треугольник CPH
равнобедренный, PH=PC=PA
. Таким образом, медиана HP
треугольника AHC
равна половине стороны AC
. Следовательно (см. задачу 1188), \angle AHC=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.