12007. Если квадраты сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то квадраты медиан этого треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, причём c\lt a\lt b
. Тогда c^{2}\lt a^{2}\lt b^{2}
, и по условию задачи 2a^{2}=b^{2}+c^{2}
. Пусть m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— медианы треугольника, проведённые к сторонам, равным a
, b
и c
соответственно. Применив формулу для квадрата медианы (см. задачу 4014) и равенство 2a^{2}=b^{2}+c^{2}
, получим
2m_{a}^{2}=2\cdot\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{1}{2}(2(b^{2}+c^{2})-a^{2})=\frac{1}{2}(2\cdot2a^{2}-a^{2})=\frac{3}{2}a^{2},
m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}+2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=
=\frac{1}{4}(4a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{1}{4}(4a^{2}+2a^{2})=\frac{3}{2}a^{2}=2m_{a}^{2}.
Следовательно, 2m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Верно также обратное утверждение: если квадраты медиан треугольника образуют арифметическую прогрессию, то квадраты сторон этого треугольника тоже образуют геометрическую прогрессию.
2. Другая формулировка доказанного утверждения: если одна из сторон треугольника есть среднее квадратичное двух других его сторон, то одна из сторон треугольника, составленного из медиан данного, тоже есть среднее квадратичное двух других сторон (т. е. если треугольник со сторонами a
, b
и c
автомедианный, то треугольник со сторонами m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
тоже автомедианный).
3. См. также статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.