12014. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до центра вписанной в него окружности.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть AB=5
, AC=6
, BC=7
; BP
и BK
— соответственно медиана и биссектриса, M
и I
— соответственно точка пересечения медиан и точка пересечения биссектрис (т. е. центр вписанной окружности) данного треугольника. Средняя сторона треугольника есть среднее арифметическое двух других сторон, т. е.
AC=6=\frac{7+5}{2}=\frac{BC+AB}{2},
значит, MI\parallel PK
(см. задачу 2898) и IM=\frac{2}{3}PK
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{7}
, поэтому
AK=\frac{5}{5+7}\cdot AC=\frac{5}{12}\cdot6=\frac{5}{2}.
Тогда
PK=AP-AK=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}.
Из подобия треугольников BMI
и BPK
находим, что
MI=\frac{2}{3}PK=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2011, XX, устный командный тур тур, № 6
Источник: Журнал «Квант». — 2012, № 3, с. 50, задача 6