12016. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы ABC
и ADC
прямые. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
взяты точки K
, L
, M
, N
соответственно так, что KLMN
— прямоугольник. Докажите, что середина диагонали AC
равноудалена от прямых KL
и MN
Решение. Пусть S
— середина AC
, а P
и Q
— середины KL
и MN
соответственно. Достаточно доказать равенство отрезков SQ
и SP
(если SP=SQ
, то точка S
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ
, т. е. на средней линии прямоугольника KLMN
).
Из прямоугольных треугольников ABC
и ADC
получаем
BS=AS=DS,~\angle ABS=\angle BAC,~\angle ADS=\angle DAC
(см. задачу 1109). Из прямоугольных треугольников KBL
и DMN
получаем
BP=KP=NQ=DQ,~\angle ABP=\angle BKP=90^{\circ}-\angle ANK.
Тогда
\angle PBS=|\angle ABS-\angle ABP|=|\angle BAC+\angle AKN-90^{\circ}|.
Аналогично,
\angle QDS=|\angle DAC+\angle ANK-90^{\circ}|.
Поскольку
(\angle BAC+\angle AKN-90^{\circ})+(\angle DAC+\angle ANK-90^{\circ})=
=\angle KAN+\angle AKN+\angle ANK-180^{\circ}=180^{\circ}-180^{\circ}=0^{\circ},
то \angle PBS=\angle QDS
. Тогда треугольники BPS
и DQS
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, SP=SQ
. Что и требовалось доказать.