12018. Дан треугольник ABC
; точка J
является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине A
. Эта вневписанная окружность касается отрезка BC
в точке M
, а прямых AB
и AC
— в точках K
и L
соответственно. Прямые LM
и BJ
пересекаются в точке F
, а прямые KM
и CJ
пересекаются в точке G
. Пусть S
— точка пересечения прямых AF
и BC
, а T
— точка пересечения прямых AG
и BC
. Докажите, что точка M
— середина отрезка ST
.
Решение. (Решение А.Калмынина). Пусть D
— точка пересечения прямых BJ
и KM
. Поскольку JK
, JL
и JM
— радиусы, проведённые в точки касания, JK\perp AB
, JL\perp AC
и JM\perp BC
. Точки K
и L
лежат на окружности \Omega
с диаметром AJ
. Прямые BJ
и CJ
содержат биссектрисы внутренних и внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
и ACB
, а также — серединные перпендикуляры к отрезкам KM
и LM
соответственно (см. задачу 1180).
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BJC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Из прямоугольного треугольника JGD
находим, что
\angle JGD=90^{\circ}-\angle DJG=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}.
Из симметрии относительно прямой CJ
следует, что
\angle JGL=\angle JGM=\frac{\alpha}{2},
откуда
\angle KJL=\angle KGJ+\angle JGL=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\alpha=\angle KAL.
Из точек A
и G
отрезок KL
виден под прямым углом, значит, точки K
, L
, A
и G
лежат на одной окружности — окружности \Omega
с диаметром AJ
, описанной около треугольника AKL
. Тогда \angle AGJ=90^{\circ}
. В треугольнике ACT
отрезок CG
является высотой и биссектрисой, значит, AC=CT
, и прямая CG
— серединный перпендикуляр к отрезку AT
. Из симметрии относительно прямой CG
следует, что JT=JA
. Аналогично, JS=JA
, поэтому JT=JS
. В равнобедренном треугольнике JST
отрезок JM
является высотой, а следовательно, и медианой, т. е. SM=TM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2012, LIII, задача 1, Греция
Источник: Журнал «Квант». — 2012, № 5-6, с. 69