12020. Дан остроугольный треугольник ABC
; AA_{1}
, BB_{1}
— его высоты. Из точки A_{1}
опустили перпендикуляры на прямые AC
и AB
, а из точки B_{1}
опустили перпендикуляры на прямые BC
и BA
. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
Указание. См. задачу 532.
Решение. Первый способ. Пусть A_{2}
и A_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки A_{1}
на AC
и AB
соответственно, B_{2}
и B_{3}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки B_{1}
на BC
и AB
соответственно. Тогда (см. задачу 141)
\angle CA_{2}B_{1}=\angle CA_{1}B_{1}=\angle CAB,
значит, A_{2}B_{2}\parallel AB
, а так как A_{2}B_{2}\ne AB
, то A_{2}B_{2}A_{3}B_{3}
— трапеция с основаниями A_{2}B_{2}
и A_{3}B_{3}
.
Из середины O
отрезка A_{1}B_{1}
опустим перпендикуляры OD
и OE
на A_{2}B_{2}
и A_{3}B_{3}
соответственно. Точки A_{2}
и B_{2}
лежат на окружности с диаметром A_{1}B_{1}
, поэтому D
— середина A_{2}B_{2}
(см. задачу 1676), а так как OE\parallel A_{1}A_{3}\parallel B_{1}B_{3}
, то по теореме Фалеса E
— середина A_{3}B_{3}
. Поскольку A_{2}B_{2}\parallel A_{3}B_{3}
, точки D
, O
и E
лежат на одной прямой, перпендикулярной A_{2}B_{2}
и A_{3}B_{3}
. Значит, трапеция симметрична относительно прямой DE
. Следовательно, она равнобокая.
Второй способ. Лемма. Каждое из оснований высот проектируется на две соседние стороны треугольника. Тогда длина отрезка, соединяющего эти проекции, не зависит от выбора высоты.
Доказательство. Пусть отрезки, соединяющие проекции на две соседние стороны оснований высот h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
треугольника ABC
, проведённых из вершин соответственно A
, B
и C
, равны a
, b
и c
соответственно.
Поскольку вершина треугольника, основание соответствующей высоты и проекции основания этой высоты на две соседние стороны треугольника лежат на одной окружности, то по теореме синусов
a=h_{a}\sin\angle A,~b=h_{b}\sin\angle B,
а так как
\frac{h_{a}}{\sin\angle B}=\frac{h_{b}}{\sin\angle A}=AB,
то a=b
. Аналогично a=c
. Лемма доказана.
Пусть A_{1}A_{2}
и A_{1}A_{3}
(B_{1}B_{2}
и B_{1}B_{3}
) — перпендикуляры, опущенные из точки A_{1}
(B_{1}
) соответственно на прямые AC
(BC
) и AB
. Как известно, \angle CA_{2}B_{2}=\angle CA_{1}B_{1}
и \angle CA_{1}B_{1}=\angle CAB
, следовательно, A_{2}B_{2}\parallel AB
, т. е. A_{2}B_{2}A_{3}B_{3}
— трапеция.
По доказанной лемме её диагонали A_{2}A_{3}
и B_{2}B_{3}
равны, следовательно, трапеция равнобокая.