12027. Найдите углы треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 1, а длины всех высот — натуральные числа.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, соответствующие им высоты — h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
, площадь треугольника равна S
, а радиус вписанной окружности равен r\gt1
. Тогда
S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r
(см. задачу 452), поэтому
3S=3r\cdot\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}(ah_{a}+bh_{b}+ch_{c}).
Каждое из натуральных чисел h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
больше диаметра вписанной окружности, равного 2, а значит, не меньше 3. Пусть хотя бы одна из высот больше 3. Тогда
3r\cdot\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}(ah_{a}+bh_{b}+ch_{c})\gt3\cdot\frac{a+b+c}{2},
откуда r\gt1
, что противоречит условию. Значит, h_{a}=h_{b}=h_{c}=3
, поэтому a=b=c
. Следовательно, треугольник равносторонний.