12028. На стороне AC
правильного треугольника ABC
взяли точку D
, а на сторонах AB
и BC
— точки E
и F
так, что DE\parallel BC
, а DF\parallel AB
. Найдите угол между прямыми AF
и CE
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезки AF
и CE
пересекаются в точке P
. Треугольники ADF
и EDC
равны по двум сторонам и углу между ними
(FD=DC,~ED=AD,~\angle ADF=\angle EDC=120^{\circ}),
поэтому \angle AFD=\angle ECD
. Из точек C
и F
, лежащих по одну сторону от прямой DP
, отрезок DP
виден под одним и тем же углом, значит, точки P
, F
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Вписанные в эту окружность углы FPC
и FDC
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle FPC=\angle FDC=60^{\circ}.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2010, XIX, письменный индивидуальный тур, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 2011, с. 47, задача 5