12029. Из точки O
внутри четырёхугольника ABCD
площади 1 опущены перпендикуляры OK
, OL
, OM
и ON
на стороны AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Известно:
AK\geqslant KB,~BL\geqslant LC,~CM\geqslant MD,~DN\geqslant NA.
Найдите площадь четырёхугольника KLMN
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. По теореме Пифагора
OA^{2}=AK^{2}+OK^{2}~\mbox{и}~OB^{2}=BK^{2}+OK^{2},
поэтому из неравенства AK\geqslant KB
следует, что AO\geqslant OB
. Аналогично, OB\geqslant OC
, OC\geqslant OD
и OD\geqslant OA
, следовательно,
OA=OB=OC=OD.
Значит, четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
, а так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то K
, L
, M
и N
— середины сторон этого четырёхугольника. Тогда площадь четырёхугольника KLMN
равна половине площади четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3019), т. е. \frac{1}{2}
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2010, XIX, устный командный тур, задача 4
Источник: Московская математическая регата. — 2013-2014, третий тур, № 2, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2011, с. 48, задача 4