12032. В треугольнике ABC
угол C
равен \gamma
. На биссектрисы углов A
и B
этого треугольника опущены перпендикуляры BK
и AL
(точки K
и L
лежат на соответствующих биссектрисах). Найдите KL
, если AB=c
.
Ответ. c\sin\frac{\gamma}{2}
.
Указание. Пусть O
— середина AB
. Докажите, что \angle KOL=\gamma
.
Решение. Пусть O
— середина стороны AB
. Медианы KO
и LO
прямоугольных треугольников AKB
и ALB
равны половине их общей гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому
OK=OB=OA=OL=\frac{c}{2}.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Из прямоугольных треугольников ABK
и BAL
получаем
\angle OBK=\angle ABK=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle OAL=\angle BAL=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
а из равнобедренных треугольников BOK
и AOL
—
\angle BOK=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\alpha,
\angle AOL=180^{\circ}-2\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\beta.
Тогда
\angle KOL=180^{\circ}-\angle BOK-\angle AOL=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma.
Наконец, из равнобедренного треугольника KOL
находим, что KL=c\sin\frac{\gamma}{2}
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2012, XXI, письменный индивидуальный тур, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 2013, № 3, с. 51, задача 5