12040. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, центр O
которой лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если углы \angle BAO=\angle DAC
, а диагонали AC
и BD
равны m
и n
соответственно.
Ответ. \frac{MN}{2}
.
Решение. Обозначим \angle BAO=\angle DAC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника AOB
находим, что
\angle AOB=180^{\circ}-2\angle BAO=180^{\circ}-2\alpha.
Вписанный угол ADB
равен половине соответствующего центрального угла AOB
, т. е.
\angle ADB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Пусть E
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AEB=\angle EAD+\angle EDA=\angle DAC+\angle ADB=\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{mn}{2}.