12042. Дан треугольник ABC
. На продолжениях стороны BA
за точку A
, стороны AC
за точку C
и стороны CB
за точку B
отложены отрезки AA_{1}=BC
, CC_{1}=AB
и BB_{1}=AC
. Найдите углы треугольника A_{1}B_{1}C
, если углы A
, B
и C
исходного треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Ответ. \angle A_{1}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}
, \angle B_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\beta+\gamma}{2}
, \angle C_{1}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\gamma}{2}
.
Решение. Пусть O
—центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, а K
, M
и N
— её точки касания со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно. Обозначим BC=a
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда AM=p-BC=p-a
(см. задачу 219), поэтому
A_{1}M=AA_{1}+AM=BC+AM=a+(p-a)=p.
Аналогично, B_{1}K=p
и C_{1}N=p
.
Прямоугольные треугольники OMA_{1}
, OKB_{1}
и ONC_{1}
равны по двум катетам, поэтому OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}
. Значит, O
—центр окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Кроме того, \angle KOB_{1}=\angle NOC_{1}
, поэтому
\angle B_{1}OC_{1}=\angle KOB_{1}+\angle KOC_{1}=\angle NOC_{1}+\angle KOC_{1}=
=\angle KON=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\gamma.
Вписанный угол B_{1}A_{1}C_{1}
равен половине центрального угла B_{1}OC_{1}
. Следовательно,
\angle B_{1}AC_{1}=\frac{1}{2}\angle B_{1}OC_{1}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma)=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Аналогично,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle A_{1}C_{1}B_{1}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.