12047. Вне правильного треугольника ABC
, но внутри угла BAC
взята точка M
, для которой \angle CMA=30^{\circ}
, \angle BMA=45^{\circ}
. Найдите угол ABM
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Точки B
и M
лежат по одну сторону от прямой AC
и при этом BA=BC
, \angle ABC=60^{\circ}
, а \angle AMC=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABC
, значит, точка M
лежит на окружности с центром B
и радиусом BA=BC
(см. задачу 2900) Пусть MN
— диаметр этой окружности. Тогда треугольник MAN
прямоугольный и равнобедренный. Его медиана AB
является высотой, следовательно, \angle ABM=90^{\circ}
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2005, XIV, письменный индивидуальный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2006, № 3, с. 52, задача 2