12054. В параллелограмме ABCD
точка E
— середина стороны AD
, точка F
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на прямую CE
. Найдите площадь треугольника ABF
, если AB=a
, \angle BAF=\alpha
.
Ответ. \frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения прямых AB
и CE
. Треугольник AEK
равен треугольнику DEC
по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AK=CD=AB=a
, а FE
— медиана прямоугольного треугольника BFK
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 1109),
AF=\frac{1}{2}BK=AB=a.
Следовательно,
S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB\cdot AF\sin\angle BAF=\frac{1}{2}a\cdot a\sin\alpha=\frac{1}{2}a^{2}\sin\alpha.