12055. Пусть M
— точка внутри параллелограмма ABCD
. Что больше: сумма расстояний от точки M
до вершин параллелограмма или его периметр?
Ответ. Периметр параллелограмма больше.
Решение. Первый способ. Пусть, для определённости, точка M
лежит внутри треугольника OAB
, где O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма, т. е. внутри каждого из треугольников ABC
и BAD
(рис. 1). Тогда (см. задачу 3502)
AM+MC\lt AB+BC
и
BM+MD\lt BA+AD.
Остаётся сложить эти неравенства.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно AB
, пересекает стороны BC
и AD
в точках E
и F
соответственно, а прямая, проведённая через точку M
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и CD
в точках G
и H
соответственно (рис. 2). Тогда по неравенству треугольника
MA\lt AG+GM=AG+AF,~MB\lt GB+GM=GB+BE,
MC\lt CH+HM=CH+EC,~MD\lt HD+HM=DH+DF.
Сложив эти неравенства, получим
MA+MB+MC+MD\lt
\lt(AG+AF)+(GB+BE)+(CH+EC)+(HD+FD)=
=(AG+GB)+(BE+EC)+(CH+HD)+(AF+FD)=
=AB+BC+CD+AD.
Следовательно, периметр параллелограмма больше.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2015, XXIV, устный командный тур, задача 8
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 3, с. 54, задача 8