12063. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Точка P
лежит на дуге AB
, не содержащей вершины C
. Прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно радиусу OA
, пересекает стороны AB
и AC
в точках Q
и R
соответственно, а прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно радиусу OB
, пересекает стороны AB
и BC
в точках S
и T
соответственно. Докажите, что PQ=QR
тогда и только тогда, когда PS=ST
.
Решение. Достаточно доказать, что PQ\cdot PS=QR\cdot ST
.
Пусть лучи PQ
и PS
пересекают окружность в точках M
и N
соответственно. Из симметрии относительно OA
получаем, что \smile AM=\smile PA
. Аналогично, \smile BP=\smile NB
. Тогда (см. задачу 26)
\angle AQM=\frac{\smile BP+\smile AM}{2}=\frac{\smile NB+\smile PA}{2}=\angle BST,
\angle ARP=\frac{\smile PA+\smile MC}{2}=\frac{\smile AM+\smile MC}{2}=\angle SBT.
Значит, треугольники AQR
и TSB
подобны по двум углам, поэтому \frac{QR}{BC}=\frac{AQ}{ST}
. Тогда QR\cdot ST=AQ\cdot BS
.
Кроме того,
\angle PAB=\frac{1}{2}\smile BP=\frac{1}{2}\smile NB=\angle BPS,
\angle APM=\frac{1}{2}\smile AM=\frac{1}{2}\smile PA=\angle PBS.
Значит, треугольники APQ
и PBS
подобны по двум углам, поэтому \frac{PQ}{BS}=\frac{AQ}{PS}
. Тогда PQ\cdot PS=AQ\cdot BS
. Следовательно, PQ\cdot PS=QR\cdot ST
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1982, № 5, задача 635, с. 139