12070. Из вершины A
треугольника ABC
опущены перпендикуляры AP
и AQ
на биссектрисы углов B
и C
треугольника. Найдите PQ
если BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Ответ. \frac{b+c-a}{2}
.
Решение. Продолжим перпендикуляры AP
и AQ
до пересечения с прямой BC
в точках P_{1}
и Q_{1}
соответственно. Треугольники BAQ_{1}
и CAP_{1}
равнобедренные, так как их высоты BQ
и CP
являются биссектрисами. Значит,
BQ_{1}=AB=c,~CP_{1}=AC=b.
Кроме того, BQ
и CP
— медианы равнобедренных треугольников BAQ_{1}
и CAP_{1}
, поэтому P
и Q
— середины AP_{1}
и AQ_{1}
. Тогда PQ
— средняя линия треугольника AP_{1}Q_{1}
. Следовательно,
PQ=\frac{1}{2}P_{1}Q_{1}=\frac{1}{2}(b+c-a).
См. задачу 1370.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 1996, VI, письменный индивидуальный командный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 1997, № 3, с. 56, задача 2