12072. В треугольнике ABC
расстояние от центра описанной окружности до стороны AB
равно d
, а \angle ABC=60^{\circ}
. Точка D
на стороне BC
такова, что BD=\frac{1}{2}AB
. Найдите CD
.
Ответ. d\sqrt{3}
.
Решение. Пусть OE
— перпендикуляр к AB
, а AB=c
. Тогда BD=BE=AE=\frac{c}{2}
.
В треугольнике ADB
сторона BD
вдвое меньше стороны AB
и \angle ABC=60^{\circ}
, значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине D
(см. задачу 2643), а AD
— высота треугольника ABC
. Тогда \angle CAD=\angle OAE
(см. задачу 20).
Прямоугольные треугольники CAD
и OAE
подобны, поэтому \frac{CD}{OE}=\frac{AD}{AE}
. Следовательно,
CD=\frac{AD\cdot OE}{AE}=\frac{c\sin60^{\circ}\cdot d}{\frac{c}{2}}=d\sqrt{3}.