12076. Существует ли выпуклый многоугольник, в котором каждая сторона равна какой-то диагонали, а каждая диагональ равна какой-то стороне?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что такой многоугольник существует, и пусть AB
— наибольшая сторона многоугольника, CD
— наименьшая диагональ, а E
— такая вершина, что точка E
и отрезок AB
лежат по разные стороны от прямой CD
.
Известно (см. задачу 1197), что наибольший угол треугольника не меньше 60^{\circ}
, а наименьший — не больше 60^{\circ}
. Данный многоугольник выпуклый, поэтому \angle CED\gt\angle AEB
.
Поскольку AE\leqslant AB
и BE\leqslant AB
, то \angle AEB\geqslant60^{\circ}
. С другой стороны, так как DE\geqslant CD
и CE\geqslant CD
, то \angle CED\leqslant60^{\circ}
. Противоречие.